上课时，老师一直强调“FT[1]只有四种，DFT不是真正的FT”，我当时无法理解：“从数学上看，傅里叶变换不就是时域和频域的一种映射关系吗，这种映射关系只是数学上的一种形式，那DFT为何不是呢？”

接触了数字滤波器，对此才略微理解。系统的单位冲激响应和系统函数同样能表示这个系统，但若对h(n)进行DFT，得到的并不是表示这个系统的系统函数H(z)，而是H(z)的抽样。

也就是说，傅里叶变换应该满足一一映射的关系，h(n)便对应H(z)，看见时域便见频域，时域和频域就好似光与影，是同一事物的两面，不可分割[2]。而DFT根据变换长度的不同，h(n)会对应多个H(k)，这便是DFT隐含周期性的含义，若考虑时域和频域的周期性，那么DFT便可满足一一映射的关系了，而此时，DFT揭示的是周期的时域和周期的频域之间一一映射的关系。

同时，H(k)可以还原出h(n)，h(n)又和H(z)一一对应，因此只要通过H(z)的取样，便能还原出H(z)[3]，这个性质揭示了系统的某种对称性[4]。

  1. 1.这里的FT指的是广义的傅里叶变换，而非专指时域连续信号到频域的变换。 ↩
  2. 2.“光与影”是一种浪漫的说法，这个比喻并不恰当。 ↩
  3. 3.内插公式 ↩
  4. 4.FFT也是基于此 ↩