IIR和FIR

IIR和FIR最主要的区别是系统单位冲激响应序列的长度不同。

直观理解

反馈 LTI系统具有0输入0输出的特点，单位冲激响应只在0时刻有信号输入，经过了0时刻后，输出将随时间逐渐减弱至消失。除非系统带有反馈部分，才能无限地持续下去。所以FIR的系统差分方程没有反馈项，而IIR含有。

卷积 $y(n)=x(n)*h(n)$，FIR系统输出只和过去有限项的输入有关，IIR系统的输出和过去所有的输入有关。系统要存储过去所有的输入，所有储存了过去的输出结果。

推导

$$y(n)=\sum_{r=0}^M b_r\ x(n-r)+\sum_{k=1}^Na_k\ y(n-k)$$ $$H(z)=\frac{\sum_{r=0}^Mb_rz^{-r}}{1-\sum_{k=1}^Na_kz^{-k}}$$ $$FIR:H(z)=\sum_{k=0}^{N-1}h(n)z^{-n}$$

这是一个有限项级数求和，该函数有N-1个零点和N-1个位于z=0的极点^[1]。在有限z平面z>0处没有极点，所以$a_k=0$。^[2]

对于IIR系统，又有

$$H(z)=\sum_{k=0}^{\infty}h(n)z^{-n}$$

这是一个无穷级数的求和，在z>0有限z平面上存在极点，$a_k$不恒为0。^[3]

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1. 1.可能会出现零点和极点抵消的问题 ↩
2. 2.这个地方可以将H(z)的z换成1/z，对于有限z平面z>0的部分应当没有极点，可以看出此时$a_k$应当为0 ↩
3. 3.详细信息参考复变函数——洛朗级数，具体的推导我还没看。 ↩