巴特沃斯滤波器
频域是处理分析信号与系统的重要方法。说到频域，就避不开讨论各种形式性质迥异的滤波器。而巴特沃斯滤波器无疑是其中最为典型的。
巴特沃斯滤波器(Butterworth Filter)，又称最大平坦滤波器。由巴特沃斯1930年在On The Theory of Filter Amplifiers一文中提出[1]。
本文以巴特沃斯低通滤波器为例分析。
幅值特性
介绍Butterworth并非直接导出系统函数，而要从幅值特性引入……
Butterworth低通滤波器幅值关系[3]
当$\omega >>\omega_c$时
频率每增大一倍，幅值变为原来的$\frac{1}{2^N}$，衰减速率是$20lg\frac{1}{2^N}=-20Nlg2\approx-6N\ dB/倍$[2]
频率每增大一倍，幅值变为原来的$\frac{1}{10^N}$，衰减速率是$20lg\frac{1}{10^N}=-20N=-20N\ dB/十倍频$
相位特性
那么Butter的系统函数长什么样呢？
系统函数$H(s)$在虚轴上满足上文的幅值特性，取$s=j\omega$，将关系推广到复频域
由于处理的信号是实信号，那么拉式变换存在以下关系：
想要从中得到$H(s)$的表达式，那么需要将$H(s)H(-s)$拆分为两式相乘的形式，而$H(s)H(-s)$可以拆成零极点表达的形式，即：
其中G>0。
可以求解$s_k=\omega_c e^{j\pi\frac{2k+N-1}{2N}}\ k=1,2,3,…,2N$，这里不予证明。
该函数有2N个极点，且极点的分布满足一些特殊的性质。首先，这2N个极点全分布在圆$|s|=\omega_c$上；其次，在虚轴上没有极点分布；接着，极点关于实轴对称，即由N对共轭极点组成[4]；最后，极点还关于虚轴对称。
将$s=0$带入$H(s)H(-s)$，则可以得到$G$的表达式：
将2N个极点按照原点对称的原则，找一条穿过原点的对称轴，分别给$H(s)$和$H(-s)$分别分配N个极点，则可以得到$H(s)$的系统函数。
但我们希望这个系统是因果稳定的，那么只剩下一种分法，将位于虚轴左侧N个极点分配给$H(s)$，剩下的N个极点则分配给$H(-s)$。
Butterworth Lowpass Filter系统函数：
$s_k=\omega_c e^{j\pi\frac{2k+N-1}{2N}}\ k=1,2,3,…,N$
这样分配之后，极点关于虚轴对称自然是不满足了，但极点关于实轴对称的结论仍然成立。
终于得到$H(s)$的系统函数了！接下来看看$H(s)$的相位特性：
辐角[5]满足：
若s在虚轴上
考虑一个特殊的情况，即$\omega=\omega_c$的时候，此时$j\omega$和极点$s_k$全部位于$|s|=\omega_c$上，利用圆心角、圆周角的关系，以及极点关于实轴对称的结论，可得
也就是阶数每增大1，在截止频率处相位翻转-45°。
参考文献
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