傅里叶变换之美

对称之美，简洁之美。在我心中傅里叶变换的美不亚于欧拉公式和麦克斯韦方程组。

$$\begin{align} &FT&X(j\Omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\Omega t} dt \\ &&x(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\Omega)e^{j\Omega t} d\Omega \\ &DTFT&X(e^{j\omega})&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{-j\omega n} \\ &&x(n)&=\frac{1}{2\pi}\int_{<2\pi>} X(e^{j\omega})e^{j\omega t} d\omega \\ &DFT&X(k)&=\sum_{<N>}x(n)W_N^{kn}\\ &&x(n)&=\frac1N\sum_{<N>}X(k)W_N^{-kn} \end{align}$$

傅里叶变换高度的对称性之美震撼人心。时域和频域，就像一对孪生，所有的性质都一一对应。然而只有时域具有更加直观的现实意义，我们也生活在时间的流中，傅里叶变换向我们打开了另一个镜像世界的大门。

从形式上，便可见傅里叶变换的对称性。

我更喜欢用频率$f$去表示FT，将角频率换成频率后，FT的形式更加对称，推导的性质（共轭、对偶etc）也具备对称性，便于记忆。而且量纲上$t$和$f$互为倒数，也更具美感。

$$\begin{align} X(j2\pi f)&=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j2\pi f t} dt \\ x(t)&=\int_{-\infty}^{+\infty} X(j2\pi f)e^{j2\pi f t} df \end{align}$$

DTFT也可以表示成对称形式。用$m$表示$n$的“倒量”。

$$\begin{align} X(e^{j2\pi m})&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{-j2\pi m n} \\ x(n)&=\int_{<1>} X(e^{j2\pi m})e^{j2\pi m t} dm \\ \end{align}$$

大道至简，傅里叶变换的简洁美沁人心脾。她告诉我们，无论多么复杂离奇的函数都可以分解为许多简单优美的正弦函数的线性叠加。量子学说带来的波动观点，不确定性等等，也告诉我们世界其实简洁如弦，傅里叶变换将美从数学领域带到了物理领域。