问题

增产 $\mathrm{d}L$ ，收获的利润 $\mathrm{d}\Pi$ 是
$\mathrm{d}\Pi = P\cdot \mathrm{d}Y - W\cdot \mathrm{d}L=(P \frac{\partial Y}{\partial L} -W)\cdot \mathrm{d}L$

利润最大(竞争市场，$W$ 和$P$ 由市场决定，是一个常数)

$\frac{\mathrm{d} \Pi}{\mathrm{d} L} =0 \Rightarrow MPL|_{L=L_0 }=\frac{\partial Y}{\partial L}|_{L=L_0} = \frac{W}{P}$

对资本的分析也是相似的

收获的利润为

$\begin{align} \Pi & = \underbrace{PY}_{\text{总收入} } -\underbrace{(WL_0+RK_0 )}_{\text{总支出} } \\ & = P[Y-(\frac{\partial Y}{\partial L}|_{(L_0,K_0)} \cdot L_0+ \frac{\partial Y}{\partial K}|_{(L_0,K_0)} \cdot K_0)] \\ & = P[Y-(MPL|_{(L_0,K_0)}\cdot L_0+MPK|_{(L_0,K_0)}\cdot K_0) \quad \text{(1)} \end{align}$

从积分的角度也有：

$\Pi = \int\limits_{0}^{\Pi} \mathrm{d}\Pi=\int\limits_{l} (P \frac{\partial Y}{\partial L} -W)\cdot \mathrm{d}L+(P \frac{\partial Y}{\partial K} -R)\cdot \mathrm{d}K \quad \text{(2)}$

注：这里之前犯了一个错误，一开始使用定积分表示此公式，应当使用路径积分，$l$ 代表厂商投入劳动和资本从 $(0,0)$ 增加到 $(L_0,K_0)$ 的过程，即 $l :(0,0)\to (L_0,K_0)$

根据欧拉定理，满足规模报酬不变，（1）式 $\Pi$ 应为0。联系实际情景，$R$ 和 $W$ 是由市场决定的常量，变化的是 $MPL$ ，$MPK$ 。在 $L:0\rightarrow L_0$ ，$K:0\rightarrow K_0$ 的过程中，若有 $P \frac{\partial Y}{\partial L} -W>0$ ，$P \frac{\partial Y}{\partial K} -R>0$ ，从积分式（2）来看应有 $\Pi > 0$ 。

说明假设 $P \frac{\partial Y}{\partial L} -W>0$ ，$P \frac{\partial Y}{\partial K} -R>0$ 是错误的，积分有正有负最后才为0（也不可能积分全为0,那样就增产就没有利润不会增产）。

说明厂商是“短视”的？在增产的过程中，$MPL-W/P>0$ 的同时，也有 $MPK-R/P<0$ ，在劳动上获了利，在资本投入上则亏损了;反之亦然。这似乎和追求利润最大的假设有点出入。